# 必修4 —— A版

# 本书部分数学符号

  • : 的正弦
  • : 的余弦
  • : 的正切
  • : 的平方
  • : 向量

# 生词

  • trigonometric /ˌtriɡənə'metrik/ --adj.三角法的
  • radian /'reɪdɪən/ --n.弧度
  • period /'pɪərɪəd/ --n.时期，周期
  • amplitude /'æmplɪtjuːd/ --广阔; 充足; 丰富; [物]振幅
    • The amplitude of the vibration determines the loudness of the sound. 振动幅度的大小决定声音的大小.
  • multiply /'mʌltɪplaɪ/ --vt & vi.乘
    • We all know how to multiply by then. 我们都知道怎样乘以10.
    • I asked you to multiply fourteen by nineteen. 我要你将 14 乘以 19.

# 第 1 章 -- 三角函数 (trigonometric function)

# 1.1 任意角和弧度制

# 1.1.1 任意角

我们规定, 按逆时针方向旋转形成的角叫 正角 (positive angle)。 按顺时针方向旋转形成的角叫 负角 (negative angle)。 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个 "零角" (zero angle)。这样, 零角的始边与终边重合, 如果 是零角, 那么 .

这样，我们就把角的概念推广到了 任意角(any angle), 包括正角、负角和零角。

今后我们常在直角坐标系内讨论角.为了讨论问题的方便，我们使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的正半轴重合，那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几 象限角(quadrant angle).

一般地，我们有:

所有与角 终边相同的角,连同角 在内，可构成一个集合 即任一与角 终边相同的角。都可以表示成角 与整数个周角的和.*

  • 终边在 x 轴上的角的集合为:
  • 终边在 y 轴上的角的集合为:
  • 终边在坐标轴上的角的集合为:

# 1.1.2 弧度制

我们知道，角可以用度为单位进行度量，1 度的角等于周角的. 这种用度作为单位来度量角的单位制叫 角度制(degree measure). 为了使用方便，数学上还采用另一种度量角的单位制——弧度制(radian measure).

把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度( 1 radian) 的角，用符号 rad 表示，读作弧度。 (Tip: 可以证明, 一定大小的圆心角 所对应的的弧长与半径的比值是唯一确定的, 与半径大小无关.)

弧长公式:

  • (弧度制) (Tip: ( 弧长所对的圆心角))
  • (角度制)

一般地, 正角的弧度是一个正数, 负角的弧度是一个负数, 零角的弧度是 0. 如果半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l, 那么, 角 的弧度数的绝对值是 这里, 的正负由角 的终边的旋转方向决定.

用角度制和弧度制来度量零角, 单位不同, 但量数相同 (都是 0); 用角度制和弧度制度量任一非零角, 单位不同, 量数也不同. 因为周角的弧度数是 , 而在角度制下的度数是 360, 所以

,

,

# 1.2 任意角的三角函数

# 1.2.1 任意角的三角函数

在直角坐标系中, 我们称以原点 O 为圆心, 以单位长度为半径的圆为 单位圆 (unit circle). 这样, 上述 P 点就是 的终边与单位元的交点. 锐角三角函数可以用单位圆上点的坐标表示.

同样的, 我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数.

如图: 1.2-3 ......

可以看出 当 时, 的终边在 y 轴上, 这时点 P 的横坐标 等于 0, 所以 无意义. 除此之外, 对于确定的角 , 上述三个值都是唯一确定的. 所以, 正弦, 余弦, 正切都是以角为自变量, 以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数, 我们将他们统称为 三角函数``(trigonometric function). 由于角的几何与实数集之间可以建立一一对应关系, 三角函数可以看成是自变量为实数的函数.

CAST 规则, 对于记住基本三角函数在各个象限内是正数还是负数很有帮助. (The CAST rule is useful for remembering when the basic trigonometric functions are positive or negative.)

由三角函数的定义可以知道: 终边相同的角的同一三角函数的值相等, 由此得到一组公式:

# 公式一

其中 .

Tip: 有公式一可知, 三角函数值 "周而复始" 的变化规律, 即角 的终边每绕原点旋转一周, 函数值将重复出现.

利用公式一, 可以把任意角的三角函数值, 转化为求 0 到 (或 0^\circ ~ 360^\circ)角的三角函数值.

下面我们再从图形角度认识一下三角函数.

像 这种被看作带有方向的线段, 叫做 有向线段 (directed line segment).

根据图我们可以看出, 我们把这三条与单位元有关的有向线段 , 分别叫做角 的 正弦线、余弦线、正切线, 统称为 三角函数线.

当角 的终边与 轴重合时, 正弦线, 正切线分别变成一个点, 此时角 的正弦值和正切值为 0 (Tip: 因为 等于 0); 当角 的终边与 轴重合时, 余弦线变成一个点, 正切线不存在 (Tip: 因为 等于0, 但是分式的分母不能等于 0), 此时角 的正切值不存在.

# 1.2.2 同角三角函数的基本关系

三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的, 你能从圆的几何性质出发, 讨论一下同一个角的不同三角函数之间的关系吗?

显然上面的图形, 当 的终边与坐标轴重合时, 这个公式也是成立的. (Tip: 因为 , , r 为半径一直存在.)

这就是说, 同一个角 的正弦, 余弦的平方和等于 1, 商等于角 的正切.

# 1.3 三角函数的诱导公式

# 公式二

# 公式三

辅助证明:

,

其他2个证明同理.

# 公式四

我们也可以用下面一段话来概括公式 一 ~ 四: 的三角函数值, 等于 的同名函数值, 前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号.

# 公式五

由于 , 由公式四以及 公式五可得:

# 公式六

公式五和公式六可以概括如下: 的正弦 (余弦) 函数值, 分别等于 的余弦(正弦) 函数值, 前面加上一个把 看成锐角时原函数值得符号.

利用公式五或公式六, 可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化. 公式一 ~ 公式六都叫做 诱导公式 (induction formula).

# 1.4 三角函数的图像与性质

# 1.4.1 正弦函数, 余弦函数的图像

正弦函数和余弦函数的图像分别叫做 正弦曲线 (sine curve) 和 余弦曲线 (cosine curve)

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# 1.4.2 正弦函数, 余弦函数的性质

# (1) 周期性

Tip: 求函数的周期第一步就直接上正弦余弦的诱导公式:

令

例如上面的 (2) 第一步我觉得更好的写法应该是:

由正弦函数的表达式 $ = sinx$

可知函数 的周期为

例如上面的 (3) 第一步我觉得更好的写法应该是:

(Note: 配项的原则是要出现 )

--- 下面是推出求函数周期的一般公式 ()

Tip: : omega. : phi

# (2) 奇偶性

观察正弦曲线和余弦曲线, 可以看到正弦曲线关于原点(O)对称(即: 奇函数 ), 余弦曲线关于 轴对称(即: 偶函数 ).

正弦函数是奇函数, 余弦函数是偶函数

# (3) 单调性

正弦函数在每个闭区间 上都是增函数, 其值从 -1 增大到 1; 在每一个闭区间 都是减函数. 其值从 1 减到 -1.

余弦函数在 上是增函数, 在 上是减函数.

# 1.4.3 正切函数的性质与图像

# (1) 周期性

由诱导公式(二): 可知, 正切函数是周期函数, 周期是 .

# (2) 奇偶性

由诱导公式(三): 可知, 正切函数是奇函数.

# (3) 单调性

正切函数在 内都是增函数.

# (4) 值域

正切函数的值域是实数集

# 1.5 函数 的图像

函数 的性质:

# (1) 振幅(amplitude of vibration)

就是这个简谐运动的振幅, 他是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;

# (2) 周期(period)

这个简谐运动的周期是: ;

# (3) 频率(frequency)

由公式 给出,他是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;

# (4) 相位(phase)

称为相位;

# (5) 初相(initial phase)

时的相位 称为初相.

# (6) 定义域:

# (7) 值域:

  • 当 时,
  • 当 时,

的图象与图像的关系:

# (1) 振幅变换

图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍

# (2) 周期变换

图象上每个点的横坐标变为原来的，纵坐标不变 .
(Tips: 水平压缩 ; 水平拉伸 )

例如: 就是 的图像水平压缩 2 倍. 见下图 1.5-3

# (3) 相位变换

图象整体向左或向右平移个单位 (即: 左加右减)

# (4) 平移变换

图像整体向上或向下平移个单位 (即: 上加下减)

# 1.6 三角函数模型的简单应用

# 第 2 章 -- 平面向量

# 2.1 平面向量的实际背景及基本概念

# 2.1.1 向量的物理背景与概念

数学中, 我们把这种既有大小, 又有方向的量叫做 向量(矢量) (vector), 而把那些只有大小, 没有方向的量 (如 年龄, 身高, 长度, 面积, 体积, 质量等) 称为 数量(标量).

# 2.1.2 向量的几何表示

由于实数与数轴上的点一一对应, 所以数量常常用数轴上一个点表示, 而且不同的点表示不同的数量.

向量常用带箭头的线段来表示, 线段按一定比例 (标度) 画出, 它的长短表示向量的大小, 箭头的指向表示向量的方向.

我们知道, 带有方向的线段叫做有向线段. 如图 2.1-5 以 为起点, 为终点的有向线段记作 , 书写顺序: 起点在前终点在后. (Tip: 读作: "有向线段 AB" 或 "向量 ")

, 向量 的长度也叫作有向线段 的长度, 记作 . 有向线段包含三个要素: 起点, 方向, 长度. 知道了有向线段的起点, 方向和长度, 它的终点就唯一确定.

向量可以用有向线段表示.向量 的大小, 也就是向量 的长度 (或称模), 记作 . 长度为 0 的向量叫做 零向量 (zero vector)记作 0. 长度等于 1 个单位的向量, 叫做 单位向量 (unit vector).

向量也可用字母 , , , 表示, 或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示, 例如 , .

平行向量(parallel vectors): 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.

图 2.1-8 就是用有向线段表示的两个平行向量 , ; 向量 、平行，通常记作 // .

我们规定:零向量与任一向量平行，即对于任意向量 , 都有 0// .

# 2.1.3 相等向量与共线向量

相等向量 (equal vector): 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 在平面上, 两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量, 因为向量完全由它的方向和长度(模)确定.

共线向量 (collinear vectors): 任一组平行向量都可以移动到同一直线上, 因此, 平行向量也叫做共线向量.

# 2.2 平面向量的线性运算

# 2.2.1 向量加法运算及其几何意义

数能进行运算, 因为有了运算而使数的运算无穷, 与数的运算类比, 向量是否也能进行运算呢? 人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发,引进了向量的运算. 下面我们学习向量的线性运算.

合力 F 可以认为是 F_1 和 F_2 的和, 即位移, 力的合成可看做向量的加法.

(Tip: 平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.)

求 2 个向量和的运算, 叫做 向量的加法. 这种求向量和的方法, 称为 向量加法的三角法则.位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.

# 2.2.2 向量减法运算及其几何意义

可以表示为从向量 的终点指向向量 的终点的向量, 这是向量减法的几何意义.

# 2.2.3 向量乘法运算以及几何意义

Tip: : Lambda. : Mu

一般地, 我们规定实数 与向量 的积是一个向量, 这种运算叫做 向量的数乘 (multiplication of vector by scalar) 记作 , 它的长度与方向规定如下:

(1)

  • 读作 乘以向量 的长度 = 的绝对值乘以向量 的长度.

(2) 当 > 0 时, 的方向与 的方向相同; 当 < 0 时, 的方向与 的方向相反.

由 (1) 可知, = 0 时, = 0.

根据实数与向量的积的定义, 可以验证下面的运算律:

设 , 为实数, 那么

特别地我们有:

= = ,

= -

# 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示

# 2.3.1 平面向量基本定理

平面向量基本定理:

# 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

正交分解: 在不共线的两个向量中, 垂直是一种重要的情形, 把一个向量分解为两个互相垂直的向量, 叫做把向量正交分解

单位向量: 量值为 1 的向量称为 "单位向量"。

向量的坐标表示: 式叫做向量的坐标表示

# 2.3.3 平面向量的坐标运算

两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).

=

=

这就是说: 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

因此: 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.

# 2.3.4 平面向量共线的坐标表示

如何用坐标表示两个共线向量? (Tip: 共线限量见上面的 2.1.3)

# 2.4 平面向量的数量积

在解析几何里并没有 "两个向量的乘积" 只有两个向量的內积 (又称点积) 和 外积(叉积), 中学里只学了內积 =
由上面內积的定义可以: 一般情况下,两个向量內积的平方并不等于这两个向量平方的內积.
更多介绍见: https://blog.zhimind.com/my-understanding-on-vector-inner-product.html

向量的內积的常规式就是 "差角余弦公式" 的自然结果

# 2.4.1 平面向量数量积(內积)的物理背景及其含义.

=

已知两个非零向量 与 , 我们把数量 叫做 与 的 数量积 (inner product)(或 內积), 记作 , 即:

# 2.4.2 平面向量数量积(內积)的坐标表示, 模(长度), 夹角

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.

设 是非零向量, , 是 的夹角, 根据向量数量积的定义及坐标表示可得:

# 2.5 平面向量应用举例

# 2.5.1 平面几何中的向量方法

最后更新时间：: 8/10/2022, 3:22:21 PM

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